Die Werte der Bool'schen Algebra werden verschieden dargestellt je nach Einsatzzweck. Man findet neben dem mathematisch sinnvollsten 0 und 1 auch z.B. 0 und L oder H und L und natürlich die gesprochenen Werte "falsch" und "wahr". Traditionell Hardware-nah ist auch 0 und -1 üblich, denn ein bitweises NICHT auf eine 0 ergibt in einem Byte ein '11111111' und das ist in vorzeichenbehafteter ('signed') Dezimalschreibweise eine -1. Teilweise ist auch eine gemischte Darstellung üblich um "logische" Werte von Zahlenwerten zu unterscheiden. Die Stellen einer solchen Zahl werden Bits genannt. Es ist weit verbreitet, binäre Zahlenwerte in 4 Bit zu Hexzahlen (Nibble) zusammenzufassen. Seltener ist auch die Zusammenfassung von 3 Bit zu Oktalzahlen üblich. 2 Nibble lassen sich dann zu einem Byte zusammenfassen. Weitere Zusammenfassungen zu Vielfachen von 10^3 oder 2^10 sind üblich, sollen hier aber nicht näher beschrieben werden.

Der besondere Wert des binären Systems ist, daß es sich technisch sehr leicht darstellen läßt. Während Ziffern 'höherer' Zahlensystem komplizierte Vorrichtungen erfordern, kann ein Bit sehr leicht durch eine Schalterstellung -auch in einem Relais- dargestellt werden. Ebenso leicht läßt es sich elektronisch in FlipFlops oder kapazitiven, magnetischen oder optischen Vorrichtungen speichern und durch elektrische Pegel, fliessenden Strom und optische Signale übertragen. Das Verarbeiten und Rechnen ist ebenfalls einfach.

Um nun damit zu Arbeiten muß man sich klar machen, dass das Binärsystem ein ganz normales Zahlensystem ist, so wie z.B. das Dezimal-, Oktal- oder Hex-System auch. D.h. alle bekannten mathematischen Operationen wie die Grundrechenarten sind möglich, ebenso die gesamte darauf aufbauende Mathematik. Letztlich beruht die gesamte Computerei auf dieser simplen Wahrheit. Das besondere der Binärzahlen ist nun, daß zusätzlich weitere Operationen sinnvoll und einfach definierbar sind. Diese erlauben die Abbildung der formalen Aussagenlogik in eine einfache mathematische Schreibweise. Das wird Bool'sche Algebra genannt.

Üblicherweise werden die Operationen der Bool'schen Algebra bei Zahlen mit mehreren Stellen (Bits) auf jede Stelle einzeln angewandt. Es gibt also keinen Übertrag oder ähnliches. Das bedeutet umgekehrt, daß man sich die Grundidee der Operationen an einzelnen Bits klar machen kann, also an so genannten Logiktabellen. Zum anderen lassen sich die Operationen verknüpfen. Speziell für die häufig benutzten NOT-Varianten der anderen Operationen heißt das, dass sie keine eigene Spalte in der Logiktabelle brauchen, sondern sich einfach durch die Verneinung der "normalen" Operation ergeben. Man kippt also jedes Bit im Ergebnis und macht so aus einem AND ein NAND und aus einem XOR ein XNOR.

Mathematisch macht es keinen Unterschied ob man eine Operation "direkt" ausführt, oder sich aus einfacheren zusammen setzt. In der elektronischen Schaltungspraxis muß man dagegen beachten, dass jede Operation Zeit kostet und man daher versuchen sollte mit möglichst wenigen Operationen auszukommen. Wenn man die Logiktabelle verinnerlicht hat, kann man sich leicht einige Rechenregeln für diese Operationen klarmachen, wie z.B. NOT A AND NOT B=NOT(A OR B).

Hier sieht man auch schön, dass kompliziertere Ausdrücke schnell unübersichtlich werden, wenn immer die Namen der Operationen benutzt. Hier hat sich eine Nomenklatur eingebürgert, die man vielleicht schon vom Programmieren in C und vielen anderen Sprachen kennt: !A & !B = !(A | B) liest sich deutlich leichter, wenn man sich erst mal an die Bedeutung der Zeichen gewöhnt hat.

Die bool'schen Operationen sind einmal das NOT (NICHT), ein sogenannter 'unärer' Operator weil er nur einen Operanden hat. Er invertiert einfach, macht also aus einer 0 eine 1 und umgekehrt. Das NOT entspricht in etwa dem negativen Vorzeichen in den Grundrechenarten. Das AND (UND) verknüpft als binärer Operator zwei Operanden so, dass das Ergebnis nur dann 1 ist, wenn beide Operanden 1 sind (Das 'binär' beim Operator hat hier nichts mit dem Zahlensystem zu tun!). Das AND entspricht in etwa der Multiplikation. Bei OR (ODER) reicht es wenn einer der beiden 1 ist. Beim XOR (exklusives ODER) darf es nur genau einer sein. Das XOR entspricht in etwa der Addition, wobei die Null wenn beide Eins sind durch den sogenannten Übertrag erklärt wird. Man sollte sich gut klar machen, dass die Worte "UND" und "ODER" in der Bool'schen Algebra eine genau fest gelegte Bedeutung haben und es deshalb auch zwei verschiedene ODER gibt. Im Gegensatz dazu wird in der natürlichen Sprache nicht so genau unterschieden.

In der elektrischen Schaltungstechnik seltener gebraucht, dafür in der mathematischen Logik um so öfter sind das => (daraus folgt), wo das Ergebnis dann 1 ist, wenn man aus dem ersten das zweite schliessen (folgern) kann. Und zu guter letzt das <=> (Equivalenz), wo die beiden Operatoren gleich sein müssen. In der elektrischen Logik ist das kein Unterschied zu = (Identität); in der Mathematik hingegen wird das aus gutem Grund unterschieden. Das soll hier nicht vertieft werden. Am Rande bemerkt sei noch, dass die Zuweisung zwar oft ähnlich wie die Identität geschrieben wird, aber etwas ganz anderes bedeutet. Man sollte immer eine Nomenklatur wählen, die das deutlich macht und nicht den Fehler machen, wie er z.B. in BASIC üblich ist, den Unterschied nur aus dem Kontext zu erschliessen.

In der elektrischen Schaltungspraxis ist häufig unwichtig, wie die Zusammenhänge formal-logisch sind. Man hat eine Wahrheitstabelle, die erfüllt werden muß. Es gibt zwar Methoden, solche Tabellen in logische Grundaussagen aufzulösen. In der Praxis wird man heute jedoch auf universelle Logikbausteine (GAL etc) zurück greifen, wo man solche Tabellen direkt einprogrammieren kann.

Zum Rechnen in Bool'scher Algebra sind zum einen die Morgan-Regeln wichtig: !(A & B)=!A | !B und umgekehrt und anderen dass das Distributiv-Gesetz für AND und OR gilt: A & (C | D) = (A & C) | (A & D) und umgekehrt. So kann man von 2 logischen Variablen A und B ausgehend jede logische Kombination als eine Operation in Bool-Algebra ausdrücken. In der folgenden Tabelle sind alle 16 Zustände aufgelistet, die überhaupt möglich sind. Daher der Vollständigkeit halber auch die konstanten Zustände 0 und 1 am Ende.

Logik-Tabelle